Як визначити ортогональ векторного підпростору?
Ортогональ векторного підпростору, породженого скінченною сім'єю векторів, дорівнює ортогоналю цієї сім'ї: якщо F = V e c t ( { u 1 , u 2 , . . . , u p } ), то F ⊥ = { u 1 , u 2 , . . . , u p } ⊥ .
Вектори ортогональні, якщо ⃑ 𝐴 ⋅ ⃑ 𝐵 = 0 . Якщо жодна з цих умов не виконується, то вектори не є ні паралельними, ні ортогональними один одному. Почнемо з перевірки, чи вони паралельні. Якщо вони паралельні, то ( 8 ⃑ 𝑖 − 7 ⃑ 𝑗 + ⃑ 𝑘 ) = 𝑘 ( 6 4 ⃑ 𝑖 − 5 6 ⃑ 𝑗 + 8 ⃑ 𝑘 ) .
Якщо вектор v міститься в підпросторі W в R n, а B = (v 1, v 2, …, vk) є впорядкованим ортогональним базисом для W, то [v]B = [(v⋅v1) | | v 1 | | 2, (v⋅v2) | | v 2 | | 2, …, (v ⋅ vk) | | vk | | 2] . Якщо B ортонормований, то [v]B = [v⋅v1,v⋅v2,…,v⋅vk].
Два вектори u → і v → у просторі скалярного добутку називаються ортогональними тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю: u → ⋅ v → = 0 .
Два ненульові вектори є ортогональними тоді і тільки тоді, коли u ⋅v =0. Примітка: 0 ортогональний до будь-якого вектора. Приклад: Нехай u і v — два вектори, що ∥u ∥=3, ∥v ∥=4 і ∥u +v ∥=5.
Два вектори перпендикулярні (або ортогональні) коли вони перетинаються під прямим кутом. Таким чином, кут, який утворюється при перетині двох ортогональних векторів, дорівнює 90∘.