Який зв'язок між комплексним експоненціальним і синусоїдальним сигналом?
Для a = 0 дійсна та уявна частини комплексної експоненти є синусоїдальними. Для a > 0 дійсна та уявна частини комплексної експоненти є синусоїдальними сигналами, помноженими на зростаючу експоненту (див. (a) на малюнку нижче для дійсної частини).
Як комплексний експоненціальний сигнал порівнюється з реальною синусоїдою? Як видно з формули Ейлера, синусоїда, задана Acos(ω0t + φ), є дійсною частиною комплексного експоненціального сигналу. тобто Acos(ω0t + φ) = re{Aej(ω0t+φ)}.
Комплексна експонента є сигнал форми. (1.17) x ( t ) = A e a t = | A | e r t [ cos ( Ω 0 t + θ ) + j sin ( Ω 0 t + θ ) ] − ∞ < t < ∞
Для конденсаторів ми знаходимо, що коли до конденсатора прикладається синусоїдальна напруга, напруга слідує за струмом на одну чверть циклу або на фазовий кут 90º. I=VXC I = V X C , де V — середньоквадратична напруга на конденсаторі. XC=12πfC X C = 1 2 π f C .
Уявімо синусоїдальний сигнал y=Y sin ωt, тобто амплітуда Y і кутова частота ω, створені радіальною лінією довжиною Y, що обертається з постійною кутовою швидкістю ω (рисунок 11.2), беручи вертикальну проекцію лінії y в будь-який момент часу для представлення значення синусоїдальний сигнал.
Експоненціальна форма комплексного числа широко використовується в техніці та науці. Оскільки z = r(cosθ + isinθ) і оскільки eiθ = cosθ + isinθ, ми отримуємо інший спосіб позначення комплексного числа: z = reiθ, яка називається експоненціальною формою.