Прості поради та рекомендації

Збіжність означає, що нескінченна межа існує. Якщо ми говоримо, що послідовність збігається, це означає, що межа послідовності існує як n → ∞ n\to\infty n→∞. Якщо межі послідовності при n → ∞ n\to\infty n→∞ не існує, ми говоримо, що послідовність розбіжна. 18 серпня 2020 р.

Тепер, коли у нас є визначення межі послідовностей, у нас є трохи термінології, на яку нам потрібно подивитися. Якщо limn→∞an lim n → ∞ ⁡ існує і є скінченним, ми говоримо, що послідовність збіжна. Якщо limn→∞an lim n → ∞ ⁡ не існує або є нескінченним, ми говоримо, що послідовність розбіжна.

Якщо ряд є p-рядом із членами 1np, ми знаємо, що він збігається, якщо p>1, і розходиться в іншому випадку. Якщо ряд є геометричним рядом з членами arn, ми знаємо, що він збігається, якщо |r|<1, і розходиться в іншому випадку.

Коли межа ряду наближається до дійсного числа (тобто межа існує), він демонструє конвергентну поведінку. У результаті можна оцінити наближення для даного ряду. Однак, якщо обмеження не існує або дорівнює нескінченності, цей ряд демонструє різну поведінку.

(і) Якщо обмеження існує і менше 1, ряд Pan є абсолютно збіжним (і збіжним). (ii) Якщо межа існує і є більшою за 1 (або якщо межа розходиться до нескінченності), ряд Pan розходиться.

Приклад: послідовність (n3 + 1) не є збіжним. Доведення: якщо можливо, нехай (n3 + 1) збіжне. Тоді існують ` ∈ R і n0 ∈ N такі, що |n3 + 1 − `| < 1 для всіх n ≥ n0 ⇒ n3 < ` для всіх n ≥ n0, що не відповідає дійсності. Тому задана послідовність не є збіжною.