Який загальний розв’язок повторюваних комплексних коренів?
Можна показати, що правильний вигляд загального розв’язку у випадку повторних коренів має вигляд: y(x)=Aeλx+Bxeλx. y ( x ) = A e λ x + B x e λ x .
Складний корінь часто представлений як Z = a + ib. Тут «a» — дійсна частина комплексного числа, яка позначається Re(Z), а «b» — уявна частина, яка представлена як I'm(Z). Тут ib — уявне число. В уявній частині комплексного числа буква «і» позначається йотою.
Якщо допоміжне рівняння DE (1) має комплексно спряжені корені α 소 iβ, то двома лінійно незалежними розв’язками є eαt cos(βt) і eαt sin(βt). Отже, загальне рішення y(t) = c1eαt cos(βt) + c2eαt sin(βt).
Основна теорема алгебри стверджує, що поліном ступеня n із комплексними коефіцієнтами має n комплексних коренів, деякі з них можуть повторюватися, а отже такі поліноми завжди можна розкласти на n лінійних множників, заданих цими комплексними коренями.
Загальним розв’язком рекурентного співвідношення є сума однорідних і часткових розчинів. Якщо не задано жодних умов, то вам кінець. Якщо задано n початкових умов, вони переведуть у n лінійних рівнянь із n невідомими та розв’яжуть систему, щоб отримати повний розв’язок.